\appendix
\chapter{\eqref{opt_eq_kt}式成立的一个简单说明}\label{app_kt}

$ F(\bm{x}) $是效用函数，$ G(\bm{x}) $等于总收入$ I=p_1x_1+p_2x_2 $，然后只有两个商品$ \bm{x}=(x_1,x_2)' $。如何在既定收入下通过$ x_1,x_2 $的分配，实现效用最大化？

假设我们如下调整商品的消费量：增加总价值为$ dI $的$ x_1 $,同时减少总价值为$ dI $的$ x_2 $，此时总收入不变，但效用的变化量为，
\[ F_1(\bm{x})\cdot\frac{ dI}{p_1}-F_2(\bm{x})\cdot\frac{ dI}{p_2} \]
注意$ F_1(\bm{x}),F_2(\bm{x}) $为边际效用，$ dI/p_1=x_1,dI/p_2=x_2 $。上式可进一步写成，
\[ F_1(\bm{x})\cdot\frac{ dI}{G_1(\bm{x})}-F_2(\bm{x})\cdot\frac{ dI}{G_2(\bm{x})} \]
如果$ \bm{x} $已经取到最优值了，那么上式只能小于或等于0(否则我就可以增加$ x_1 $，减少$ x_2 $来增加效用)。即
\begin{align*}
	& F_1(\bm{x})\cdot\frac{ dI}{G_1(\bm{x})}-F_2(\bm{x})\cdot\frac{ dI}{G_2(\bm{x})} \le 0\\
\Longrightarrow &\frac{F_1(\bm{x})}{G_1(\bm{x})}\le \frac{ F_2(\bm{x})}{G_2(\bm{x})} = \lambda
\end{align*}
当$ x_1=0 $时，你只能进行增加$ x_1 $，减少$ x_2 $的操作，而该操作则意味着上式在最优化时必然成立。上式与\eqref{opt_eq_kt}式是完全一致的。